Mit nevezünk halmazok különbségének? Hogyan határozzuk meg két halmaz különbségét? Részletes magyarázat példafeladattal!
Halmazok különbsége
Definíció: Két halmaz különbsége az a halmaz, melyben az első halmaz összes olyan eleme benne van, mely a másik halmaznak nem eleme.
A halmazok szimmetrikus különbségének jele: \ (kiolvasva mínusz)
Példa halmazok szimmetrikus különbségének jelölésre: A \ B
Kiolvasva: „a mínusz bé”
A halmazok különbségének jelölése arra figyelmeztet, hogy a művelet érdemben eltér a számok kivonásától!
Halmazok különbsége a gyakorlatban
A két halmaz különbségét úgy határozzuk meg, hogy az halmaz elemei közül kivesszük azokat, amelyek mind a két halmazban benne vannak.
Halmazelméletileg megfogalmazva (azonosságként felírva):
A \ B = A \(A ∩ B)
Két halmaz különbsége = az első halmaz – a két halmaz metszete.
Fontos! Mindebből az is következik, hogy a halmazok különbségénél a halmazok nem cserélhetők fel!
Halmazelméletileg megfogalmazva (azonosságként felírva):
A \ B ≠ B \ A
Kiolvasva: A mínusz bé nem egyenlő bé mínusz a
Példa feladat két halmaz különbségéhez
Határozzuk meg A és B halmaz különbségét, ha az A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} és B={4; 6; 7; 9}.
Majd határozzuk meg B és A halmaz különbségét, és hasonlítsuk össze a két végeredményt!
A feladatmegoldás lépései:
- A két halmaz közös elemei (metszete), azaz A ∩ B = {4; 6}.
- Az A halmazból kivéve metszet elemeit A \ B = A \ (A ∩ B ) = {1; 2; 3; 5}
- A B halmazból kivéve metszet elemeit B \ A = A \ (A ∩ B ) = {7; 9}
Amint látjuk, a két eredményhalmaz nem azonos, nem is hasonlítanak egymásra.
Ennek oka, hogy ugyanazokat az elemeket két teljesen eltérő elemeket tartalmazó halmazokból vettük ki, s kaptuk meg a végeredményt.