Mit nevezünk halmazok számosságának? Hogyan tudjuk meghatározni egy halmaz számosságát? Részletes magyarázatokkal és példákkal!
Halmaz számossága
Definíció: Egy halmaz számossága azt fejezi ki, hogy a halmaznak hány eleme van.
A véges számú halmazoknak a számossága pontosan egyenlő az elemeik számával.
Felmerülhet a kérdés, hogy miért van a halmazok elemszámára egy külön fogalmunk?
Azért, mert a végtelen elemszámú halmazok, mint például a nevezetes számhalmazok, alapvetően kétfélék.
A következő példa bemutatja az alapját a kétféle végtelen fogalom megkülönböztetésének.
Példa feladat halmazok számosságára
Határozzuk meg a természetes számok halmazának számosságát!
A feladat megoldása
A természetes számok sorában minden egyes számhoz hozzá lehet rendelni egy sorszámot.
- nullához az 1-est
- az egyhez a 2-est
- a kettőhöz a 3-ast
- és így tovább.
Ezzel a módszerrel a természetes számok minden egyes elemét sorra tudjuk venni, egy-egy sorszámmal ellátva őket.
Definíció: Amikor egy halmaz elemeihez sorszámokat rendelünk azért, hogy az elemek számát meghatározzuk, azt számlálásnak hívják.
Mivel természetes számok végtelen sok elemet tartalmaz, ezért a számlálást a végtelenségig lehet folytatni. De ami fontos, hogy bármely következő elemhez is meg tudunk adni sorszámot.
Ezért azt mondjuk, hogy
A természetes számok számossága megszámlálhatóan végtelen.
Kicsit nyakatekertnek hangozhat a megfogalmazás, de így szabatos.
További számhalmazok számossága
A fenti hozzárendelési szabályt – némi módosítással – alkalmazni lehet:
- a pozitív egészek halmazára
- a negatív egészek halmazára
- az egész számok halmazára, s
- a racionális számokra is.
Éppen ezért a fenti számhalmazok számossága szintén megszámlálhatóan végtelen.
Irracionális számok számossága
Ahhoz, hogy az irracionális számok számosságát megérthessük, elevenítsük fel az irracionális számok egyik tulajdonságát
Bármely két végtelenül közel lévő irracionális szám között végtelen sok irracionális szám van.
S ezek közül a két legközelebb álló között is további végtelen sok irracionális szám van.
S ezt a végtelenségig lehetne folytatni, ami miatt nem lehet az összes irracionális számot sorra venni, s sorszámot adni nekik.
Ezért azt mondjuk, hogy
Az irracionális számok számossága megszámlálhatatlanul végtelen.
Hát ez a megfogalmazás sem szebb, de legalább jó nyelvtörő. 🙂
Amiből az is következik, hogy a valós számok számossága szintén megszámlálhatatlanul végtelen, hiszen az irracionális számok a valós számok részhalmaza.