Halmazok Descartes szorzata

Mit nevezünk halmazok Descartes szorzatának? Hogyan határozzuk meg, s milyen elemek van benne? Részletes magyarázat példafeladattal!

Halmazok Descartes szorzata

Két halmaz Descartes (direkt) szorzata az a halmaz, mely olyan számpárokat tartalmaz, melynek az első tagja az első halmazból származik, a második tagja a második halmazból származik, s az első halmaz minden eleméhez a második halmaz minden elemét hozzápárosítjuk.

Halmazok Descartes (direkt) szorzatának jelölése: x (kereszt s nem „iksz”)

Példa halmazok Descartes szorzatának jelölése: A x B

Kiolvasva: „a kereszt bé”

Halmazok Descartes szorzata a gyakorlatban

Két halmaz Descartes szorzatát úgy határozzuk meg (véges elemszámú halmazok esetén), hogy az első halmaz minden eleméhez hozzápárosítjuk a második elem minden elemét.

Tétel: Ha a két halmaz nem azonos, akkor a két halmaz sorrendje nem felcserélhető, mert a halmazok Descartes szorzatának eredménye nem lesz azonos (Lásd a példafeladat megoldásának 3. és 4. részét).

Matematikai jelölésekkel:

A x B ≠ B x A ha A ≠ B

Indoklás: A fenti állítás egy egyenlőség tagadását jelenti. Aminek bizonyításához egy megfelelő példa elegendő.

Az alábbi feladat második része erre is fog példát mutatni.

Példa feladat halmazok Descartes szorzatára

Határozzuk meg A = {1; 3; 5; 7} és B = {a; b; c} halmazok önmagukkal és egymással alkotott Descartes szorzatát.

1. A x A-t
2. B x B-t
3. A x B-t
4. B x A-t

A feladatmegoldás lépései:

Fontos! A feladat 4 egymástól különálló részből áll, ezért egyszerre csak eggyel foglalkozzunk!

Tipp: Akkor nem marad ki egy elem sem az elempárok felsorolásából, ha az első halmaz első eleméhez előszőr hozzápárosítottuk az második halmaz minden egyes elemét.

Majd utána ugyan így a második (stb.) elemet is sorra vesszük az első halmazból, s ahhoz is hozzápárosítottuk a második halmaz minden elemét.

1. Az 1. feladatnál az eredmény olyan elempárok lesznek, melyek mind a két tagja szám lesz.
   A x A = { (1; 1); (1; 3); (1; 5); (1; 7); (3; 1); (3; 3); (3; 5); (3; 7); (5; 1); (5; 3); (5; 5); (5; 7); (7; 1); (7; 3); (7; 5); (7; 7) }
2. Az 2. feladatnál az eredmény olyan elempárok lesznek, melyek mind a két tagja betű lesz.
   B x B = { (a; a); (a; b); (a; c); (b; a); (b; b); (b; c); (c; a); (c; b); (c; c) }
3. Az 3. feladatnál az eredmény olyan elempárok lesznek, melyek az első tagja szám, a második tagja pedig betű.
   A x B = { (1; a); (1; b); (1; c); (2; a); (2; b); (2; c); (3; a); (3; b); (3; c); (4; a); (4; b); (4; c) }
4. Az 4. feladatnál az eredmény olyan elempárok lesznek, melyek az első tagja betű, a második tagja pedig szám.
   B x A = { (a; 1); (a; 2); (a; 3); (a; 4); (b; 1); (b; 2); (b; 3); (b; 4); (c; 1); (c; 2); (c; 3); (c; 4) }

Figyeljük meg, hogy a halmazok elemszámait összeszorozva egymással megkapjuk a Descartes szorzat eredményhalmazának elemszámát.

1. 4×4=16
2. 3×3=9
3. 4×3=12
4. 3×4=12

A 3. és a 4. részfeladatban ugyan annyi elempárt kapunk, de a két végeredmény teljesen különbözik egymástól.

Ezt a feladatmegoldás részleges önellenőrzésére is felhasználhatjuk!

Emlékeztetőül: A (a;1) és a (1;a) elem párok nem azonosak.