Mit nevezünk halmazok szimmetrikus különbségének? Hogyan határozzuk meg, s milyen elemek vannak benne? Részletes magyarázat példafeladattal!
Halmazok szimmetrikus különbsége
Definíció: Két (vagy több) halmaz szimmetrikus különbsége az a halmaz, mely minden olyan elemet tartalmaz, mely a két halmaz közül csak az egyikben volt benne,
A halmazok szimmetrikus különbségének jele: Δ
Példa halmazok szimmetrikus különbségének jelölésre: A Δ B
Kiolvasva: „a szimmetrikus különbség bé”
Halmazok szimmetrikus különbsége a gyakorlatban
A két halmaz szimmetrikus különbségét úgy határozzuk meg, hogy a két halmaz összes eleme közül kivesszük azokat, amelyek mind a kettőben benne vannak.
Halmazelméletileg megfogalmazva (azonosságként felírva):
A Δ B = (A ∪ B)\(A ∩ B)
Két halmaz szimmetrikus különbsége = a két halmaz uniója – a két halmaz metszete.
Példa feladat két halmaz szimmetrikus különbségéhez
Határozzuk meg A és B halmaz szimmetrikus különbségét, ha az A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} és B={4; 6; 7; 9}
A feladatmegoldás lépései:
- A két halmaz összes eleme (uniója), azaz A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}.
Figyeljük meg, hogy a 8 egyik halmazban sem szerepel! - A két halmaz közös elemei (metszete), azaz A ∩ B = {4; 6}.
- A két halmaz szimmetrikus különbségét úgy kapjuk meg, hogy a két halmaz elemei közül kivesszük azokat, amelyek közösek.
A Δ B = (A ∪ B)\(A ∩ B) = {1; 2; 3; 5; 7; 9}